הפרדוקס של סנט פטרסבורג הוא פרדוקס שנצפה על ידי ניקולאוס ברנולי ויש לו את הסיבה להיות בהימורים. פרדוקס זה אומר לנו, כי בתיאוריית ההחלטות, כל ההימורים מתקבלים, ללא קשר לערכם, גם אם הערך האמור מראה לנו כי אין זו החלטה רציונאלית.
הפרדוקס של סנט פטרסבורג, כדי שנבין אותו נכון, היה פרדוקס שתיאר ניקולאוס ברנולי, לאחר התבוננות בהימורים, ולכן פרדוקס זה קיים.
תורת המשחקיםבמובן זה, הפרדוקס אומר לנו שהתאוריה של ההחלטות שגובשו מראה לנו שההחלטה הרציונלית, במשחק הימורים, היא הכל, ללא קשר לסכום שכל הימור מניח. עם זאת, בניתוח נכון של המצב הזה ובטיפול מדויק בתיאוריה, אנו מבחינים כי שום יצור רציונלי לא יבחר לקבל את ההחלטה להמר על סכום כסף קרוב לאינסוף, אם כי התיאוריה מציינת שהיא רציונאלית. מסיבה זו, הפרדוקס מתעורר.
בתחילה, הפרדוקס נצפה על ידי ניקולאוס ברנולי, כפי שהוא מופיע במכתב שנשלח על ידיו לפייר דה מונטמורט, אריסטוקרט ומתמטיקאי צרפתי, ב- 9 בספטמבר 1713.
עם זאת, מכיוון שמחקרו של ניקולאוס לא השיג תוצאות, הוא הציג את הפרדוקס בפני בן דודו דניאל ברנולי בשנת 1715, מתמטיקאי ממוצא הולנדי ורקטור אוניברסיטת באזל, שנפגש בסנט פטרסבורג עם קבוצה בולטת של מדענים, ואחרי כן. שנים של מחקר, שפורסם בשנת 1738 מערכת מדידה חדשה בעבודתו "חשיפת תיאוריה חדשה במדידת סיכונים".
המודל שהציע דניאל, שלא כמו המוצע על ידי ניקולאוס, מניח את היסודות למה שמאוחר יותר ישכלל וישלים את תורת התועלת הצפויה.
נוסחת הפרדוקס של סנט פטרסבורג
הניסוח שהציע ניקולאוס ברנולי לבן דודו ופייר דה מונטמורט הוא כדלקמן:
בואו נדמיין משחק הימורים, בו השחקן, כמובן, צריך לשלם סכום כדי להשתתף.
נניח שהשחקן מהמר על זנבות, ומשליך את המטבע ברציפות עד לזנבות. לאחר זנבות המשחק הופסק והשחקן מקבל $ 2 n.
לפיכך, אם זנבות, השחקן זוכה תחילה ב- 2 1, כלומר 2 $. אבל אם זנבות שוב, הוא יקבל 2 2, כלומר 4 $, וכן הלאה. אם זה ייצא שוב, זה יהיה 8 דולר, שזה שווה ערך ל- 2 3; ואילו אם זה ייצא בפעם הרביעית, הפרס יהיה 16 דולר, בהיותו ייצוג 2 4.
לפיכך, שאלתו של ניקולאוס הייתה הבאה: אם ניקח בחשבון את הרצף שהוזכר לעיל ואת הרווח, כמה השחקן יהיה מוכן לשלם עבור המשחק הזה מבלי לאבד את הרציונליות?
דוגמה לפרדוקס של סנט פטרסבורג
בהתחשב בניסוח שהציע ניקולאוס, ובספק שהוא הציב בפני המתמטיקאי הצרפתי ובן דודו, בואו נראה את הסיבה לפרדוקס הזה, למשל, כדי להבין למה אנחנו מתכוונים.
קודם כל עלינו לדעת שלפני תחילת המשחק יש לנו אינסוף תוצאות אפשריות. ובכן, גם אם ההסתברות היא 1/2, ייתכן שהזנבות לא ייצאו עד לסיבוב השמיני.
לכן, ההסתברות שצלב זה מופיע על הטוס k היא:
Pk = 1 / 2k
כמו כן, הרווח הוא 2k.
בהמשך לפיתוח, הזנבות הראשונים בסיבוב הראשון מציגים רווח של 21 ($ 2) והסתברות של 1/2. לזנבות בניסיון השני יש רווח של 22 (4 דולר) והסתברות של 1/22; ואילו אם זנבות בניסיון השלישי, לשחקן יש ניצחון של 23 ($ 8) והסתברות של 1/23. כפי שאנו רואים, מערכת יחסים מתארכת, כל עוד אנו מוסיפים ריצות.
לפני שתמשיך, יש לציין כי בתורת ההחלטות אנו מכנים ציפייה מתמטית (EM), או זכייה צפויה במשחק, סכום הפרסים, המשויך לכל אחת מהתוצאות האפשריות של המשחק, וכולם משוקללים על ידי הסתברות שכל אחת מהתוצאות הללו תתרחש.
אם ניקח בחשבון את הגישה שמראה פרדוקס זה, אנו רואים שכשמשחק ההסתברות לזכות ב -2 דולר היא 1/2, אך בנוסף, ההסתברות לזכות ב -4 היא 1/4, ואילו זו של זכייה ב -8 דולר היא 1/8. זאת, עד שמגיעים למצבים כמו זכייה ב -64 דולר, הסבירות למקרה זה היא 1/64.
לפיכך, עם תוצאות אלה, אם נחשב את הציפייה המתמטית, או את מה שאנו מכירים כניצחון הצפוי במשחק, עלינו להוסיף את הרווחים של כל התוצאות האפשריות המשוקללות על ידי ההסתברות להתרחשותן, כך שהתוצאה מראה לנו אינסוף ערך.
אם אנו פועלים לפי תורת הבחירה, היא אומרת לנו שעלינו להמר על כל סכום על העובדה הפשוטה שכל החלטה היא חיובית עבורנו. כעת, העובדה שמדובר בפרדוקס היא מכיוון שבאופן רציונלי, שחקן לא יהמר ללא הגבלת זמן, גם אם התיאוריה תדחוף אותו לעשות זאת.
פרדוקס בולט
רבים היו המתמטיקאים שניסו לפענח את הפרדוקס שהציע ברנולי, אולם ישנם גם רבים שלא הצליחו לפתור אותו.
לפיכך, ישנן דוגמאות רבות המראות לנו כיצד הפרדוקס ניסה להיפתר על ידי מתמטיקאים שהתייחסו הן למבנה המשחק והן להחלטות של אנשים עצמם. עם זאת, עד היום אנו עדיין לא יכולים למצוא פיתרון תקף.
וכדי לקבל מושג על מורכבותו של פרדוקס זה, תוך התחשבות בתורת הבחירה בדוגמה זו, אנו מניחים כפרס אפשרי, לאחר החישוב, מספר אינסופי של מטבעות שאף, בהנחה שזה אפשרי, זה לא יהיה תואם למערכת המוניטרית עצמה, מכיוון שמדובר בכסף שבניגוד למה שפרדוקס אומר, הוא מוגבל.
