מוצר נקודתי וקטורי עם הגדרה גיאומטרית
התוצר הסקלרי של שני וקטורים על פי הגדרתו הגיאומטרית הוא הכפל של המודולים שלהם בקוסינוס הזווית הנוצרת על ידי שני הווקטורים.
במילים אחרות, תוצר הנקודה של שני וקטורים הוא להפוך את התוצר של המודולים של שני הווקטורים ואת הקוסינוס של הזווית.
נוסחת מוצר סקלר
בהינתן שני וקטורים, מוצר הנקודה מחושב כדלקמן:
זה נקרא מוצר סקלרי מכיוון שתוצאת המודול תמיד תהיה סקלרית, באותו אופן שגם הקוסינוס של זווית יהיה. התוצאה של הכפל הזה תהיה מספר המבטא גודל ואין לו כיוון. במילים אחרות, התוצאה של מוצר הנקודה תהיה מספר, לא וקטור. לכן, אנו נביע את המספר המתקבל ככל מספר ולא כווקטור.
כדי לדעת את גודל כל וקטור, מודולוס מחושב. לכן, אם נכפיל את גודל אחד הווקטורים (v) בגודל הווקטור השני (a) בקוסינוס של הזווית ששניהם יוצרים, נדע כמה שני הווקטורים נמדדים בסך הכל.
מודול הווקטור (v) כפול הקוסינוס של הזווית ידוע גם כהשלכה של הווקטור v על הווקטור a.
ראה דרך אחרת לחישוב תוצר הנקודה של שני וקטורים
תהליך
- חשב את המודולים של הווקטורים.
בהינתן כל וקטור בעל שלושה ממדים,
הנוסחה לחישוב המודול של הווקטור היא:
כל תת-כתב של הווקטור מציין את הממדים, במקרה זה, הווקטור (a) הוא וקטור תלת-ממדי מכיוון שיש לו שלושה קואורדינטות.
2. חשב את הקוסינוס של הזווית.
דוגמה למוצר הנקודה של שני וקטורים
חשב את המוצר הסקלרי של הווקטורים התלת מימדיים הבאים בידיעה שהזווית שהם יוצרים היא 45 מעלות.
כדי לחשב את המוצר הסקלרי ראשית עלינו לחשב את מודול הווקטורים:
לאחר שחישבנו את המודולים של שני הווקטורים ואנחנו יודעים את הזווית, עלינו להכפיל אותם רק:
לכן, המוצר הנקודתי של הווקטורים הקודמים הוא 1.7320 יחידות.
גרָף
הווקטורים הבאים ייראו בתרשים תלת מימדי יהיו כדלקמן:
עבור הווקטור (c) אנו יכולים לראות כי רכיב z הוא אפס, לכן הוא יהיה מקביל לציר האבסיסיקה. במקום זאת, רכיב ה- z של הווקטור (b) הוא חיובי, כך שנוכל לראות כיצד הוא משתפל כלפי מעלה. שני הווקטורים נמצאים ברביע החיובי מבחינת הרכיב, מכיוון שהוא חיובי וזהה.
